MODULO 4 GEOMETRIA 11:1 11:2

 MODULO      4       GEOMETRIA   11:1    11:2

SEMANA   OCTUBRE 2   A NOVIEMBRE   4

PROPOSITO. Identificar los elementos de la elipse

L elipse  Figura geométrica curva y cerrada, con dos ejes perpendiculares desiguales, que resulta de cortar la superficie de un cono por un plano no perpendicular a su eje, y que tiene la forma de un círculo achatado.

"las órbitas que describen los astros en su trayectoria son elipses"ÁlgebraTrigonometríaAnalíticaDiferencialIntegralGraficadorTareas

 

 

Concepto y elementos de la elipse

Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

 

Elementos de la elipse:
1. Focos: Son los puntos fijos F y F'.
2. Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.
3. Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF'.
4. Centro: Es el punto de intersección de los ejes.
5. Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'.
6. Distancia focal: Es el segmento segmento de longitud 2c, c es el valor de la semidistancia focal.
7. Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'.
8. Eje mayor: Es el segmento segmento de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor.
9. Eje menor: Es el segmento segmento de longitud 2b, b es el valor del semieje menor.
10. Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.
11. Centro de simetría: Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejes de simetría.

Relación entre la distancia focal y los semiejes

·         Eje focal: es la recta que pasa por los focos, en este caso el eje x

La gráfica representando todos estos elementos es la siguiente:

Observen que el centro es centro de simetría de la elipse.

 

 

Ecuación de la elipse                   

 

 

DONDE:  b es un numero positivo  tal que        b*2  =  a*2   -   c*2    por demostración

 

EJEMPOS

 

 

Representa gráficamente y determina las coordenadas de los focos, de los vértices y la excentricidad de las siguientes elipses.

 

        La ecuación de la elipse ya está en forma canónica por lo que procedemos a obtener el valor del semieje mayo

     Y así encontrar los vértices que forman el eje mayor

Entonces el valor del semieje menor es

 

 Por lo tanto, los vértices que se encuentran en el eje menor son

Ejemplo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ejercicios

1)    En la siguiente esquema trace la elipse  e identifique sus elementos

 

 

 

 

 

 

 

 

2) Dada la ecuación encontremos:

 y*2/25      x*2/16  =   1   encontrar:

 

Las coordenadas de los vértices

Las coordenadas de los extremos del eje mayor

Las coordenadas de los focos

Dibuje la grafica

 

SOLUCION

 

De la  ecuación:        a*2   es  =  25    =  5                            b*2  =    16  =   4

 

 

C*2  =  a*2   -     b*2      por lo tanto   c*2    = 25  -  16    =  9  de donde    c     =     3

Luego

Vértice uno  ( -5, 0 )   vértice dos  ( 5, 0)

Extremos eje menor  (0, 4)   ( 0, 4)

Extremos focos   (- 3, 0 )  (3,0 )

 

1) Dibuje la grafica

2) Encontrar la ecuación de la elipse centrada en el origen cuyos focos están en los puntos

( -4, 0)  y  ( 4, 0)    y los vértices están en los puntos ( -6,0 ) y (0 ,6()

 

3) Dibuje  la elipse

4) Encontrar la ecuación de la elipse centrada en el origen cuyos focos están en los puntos

( -2, 0)  y  ( 2, 0)    y los vértices están en los puntos ( -4,0 ) y (0 ,4)

5) Dibuje la elipse